জাভাতে রিকারশনের এই গভীর টিউটোরিয়ালটি উদাহরণ, প্রকার এবং সম্পর্কিত ধারণাগুলির সাথে পুনরাবৃত্তি কী তা ব্যাখ্যা করে। এটি পুনরাবৃত্ত বনাম পুনরাবৃত্তিকেও কভার করে:
জাভাতে আমাদের আগের টিউটোরিয়াল থেকে, আমরা পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি দেখেছি যেখানে আমরা একটি লুপ ঘোষণা করি এবং তারপরে একটি উপাদান নিয়ে একটি পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিতে ডেটা কাঠামোর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করি একটি সময়।
আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রবাহও দেখেছি যেখানে আমরা আবার একটি লুপ ভেরিয়েবল রাখি এবং লুপ ভেরিয়েবল শর্ত পূরণ না হওয়া পর্যন্ত কোডের একটি অংশ পুনরাবৃত্তি করি। যখন ফাংশন কলের কথা আসে, আমরা ফাংশন কলগুলির জন্যও পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির অন্বেষণ করেছি৷
জাভাতে রিকারসন কী?
পুনরাবৃত্তি এমন একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে একটি ফাংশন বা একটি পদ্ধতি বারবার নিজেকে কল করে। প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষভাবে বার বার কল করা এই ফাংশনটিকে "রিকারসিভ ফাংশন" বলা হয়৷
পুনরাবৃত্তি বোঝার জন্য আমরা বিভিন্ন উদাহরণ দেখব৷ এখন আসুন রিকার্সনের সিনট্যাক্স দেখি।
রিকারশন সিনট্যাক্স
রিকারশন প্রয়োগ করে এমন যেকোনো পদ্ধতির দুটি মৌলিক অংশ রয়েছে:
- পদ্ধতি কল যা নিজেকে কল করতে পারে অর্থাত্ পুনরাবৃত্ত
- একটি পূর্বশর্ত যা পুনরাবৃত্তি বন্ধ করবে।
উল্লেখ্য যে যেকোন রিকার্সিভ পদ্ধতির জন্য একটি পূর্বশর্ত আবশ্যক, যদি আমরা তা না করি বিরতিরিকার্সন তাহলে এটি অসীমভাবে চলতে থাকবে এবং এর ফলে একটি স্ট্যাক ওভারফ্লো হবে।
রিকারশনের সাধারণ সিনট্যাক্স নিম্নরূপ:
methodName (T parameters…) { if (precondition == true) //precondition or base condition { return result; } return methodName (T parameters…); //recursive call } উল্লেখ্য যে পূর্ব শর্তও বলা হয় ভিত্তি শর্ত। আমরা পরবর্তী বিভাগে বেস অবস্থা সম্পর্কে আরও আলোচনা করব৷
জাভাতে রিকার্সন বোঝা
এই বিভাগে, আমরা পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি বোঝার চেষ্টা করব এবং এটি কীভাবে ঘটে তা দেখার চেষ্টা করব। আমরা বেস কন্ডিশন, স্ট্যাক ওভারফ্লো সম্বন্ধে শিখব এবং দেখব কিভাবে রিকারশন এবং এই ধরনের অন্যান্য বিবরণ দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধান করা যায়।
রিকারশন বেস কন্ডিশন
রিকারসিভ প্রোগ্রাম লেখার সময়, আমাদের উচিত প্রথমে বেস কেসের জন্য সমাধান প্রদান করুন। তারপর আমরা ছোট সমস্যার পরিপ্রেক্ষিতে বড় সমস্যা প্রকাশ করি।
একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা একটি সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল গণনার একটি ক্লাসিক সমস্যা নিতে পারি। একটি সংখ্যা n দেওয়া হলে, আমাদেরকে n দ্বারা চিহ্নিত n-এর একটি ফ্যাক্টরিয়াল খুঁজে বের করতে হবে!
এখন আবৃত্তি ব্যবহার করে n ফ্যাক্টরিয়াল (n!) গণনা করার জন্য প্রোগ্রামটি বাস্তবায়ন করা যাক।
public class Main{ static int fact(int n) { if (n == 1) // base condition return 1; else return n*fact(n-1); } public static void main(String[] args) { int result = fact(10); System.out.println("10! = " + result); } }আউটপুট
এই প্রোগ্রামে, আমরা দেখতে পারি যে কন্ডিশন (n=1) হল বেস কন্ডিশন এবং এই কন্ডিশনে পৌঁছে গেলে, ফাংশন 1 রিটার্ন করে ফাংশনের অন্য অংশ হল রিকার্সিভ কল। কিন্তু প্রতিবার রিকার্সিভ মেথড বলা হলে, n 1 দ্বারা হ্রাস পায়।
এইভাবে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে শেষ পর্যন্ত n-এর মান 1 বা 1-এর চেয়ে কম হবে এবং এই সময়েপয়েন্ট, পদ্ধতিটি মান 1 প্রদান করবে। এই বেস কন্ডিশনে পৌঁছে যাবে এবং ফাংশন বন্ধ হয়ে যাবে। মনে রাখবেন যে n-এর মান যেকোনও হতে পারে যতক্ষণ না এটি বেস কন্ডিশনকে সন্তুষ্ট করে।
রিকারশন ব্যবহার করে সমস্যা-সমাধান
রিকারশন ব্যবহার করার পিছনে মূল ধারণা হল বড় সমস্যা প্রকাশ করা ছোট সমস্যা। এছাড়াও, আমাদের এক বা একাধিক বেস শর্ত যোগ করতে হবে যাতে আমরা পুনরাবৃত্তি থেকে বেরিয়ে আসতে পারি।
এটি ইতিমধ্যে উপরের ফ্যাক্টরিয়াল উদাহরণে প্রদর্শিত হয়েছে। এই প্রোগ্রামে, আমরা ছোট মানের পরিপ্রেক্ষিতে n ফ্যাক্টরিয়াল (n!) প্রকাশ করেছি এবং একটি বেস কন্ডিশন (n =1) রেখেছি যাতে n 1 এ পৌঁছালে আমরা রিকার্সিভ পদ্ধতি ছেড়ে দিতে পারি।
পুনরাবৃত্তে স্ট্যাক ওভারফ্লো ত্রুটি
আমরা সচেতন যে যখন কোনও পদ্ধতি বা ফাংশন কল করা হয়, তখন ফাংশনের অবস্থা স্ট্যাকের মধ্যে সংরক্ষণ করা হয় এবং ফাংশনটি ফিরে এলে পুনরুদ্ধার করা হয়। পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির জন্যও স্ট্যাক ব্যবহার করা হয়।
কিন্তু পুনরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, একটি সমস্যা হতে পারে যদি আমরা বেস কন্ডিশন সংজ্ঞায়িত না করি বা যখন বেস কন্ডিশন কোনোভাবে পৌঁছানো বা কার্যকর করা না হয়। এই পরিস্থিতি দেখা দিলে স্ট্যাক ওভারফ্লো হতে পারে।
আসুন ফ্যাক্টরিয়াল নোটেশনের নিচের উদাহরণটি বিবেচনা করা যাক।
এখানে আমরা একটি ভুল বেস শর্ত দিয়েছি, n==100।
public class Main { static int fact(int n) { if (n == 100) // base condition resulting in stack overflow return 1; else return n*fact(n-1); } public static void main(String[] args) { int result = fact(10); System.out.println("10! = " + result); } }তাই যখন n > 100 পদ্ধতিটি 1 রিটার্ন করবে কিন্তু পুনরাবৃত্তি বন্ধ হবে না। সেখানে n-এর মান অনির্দিষ্টকালের জন্য কমতে থাকবেএটা বন্ধ করার অন্য কোন শর্ত নেই। স্ট্যাক ওভারফ্লো না হওয়া পর্যন্ত এটি চলতে থাকবে।
আরেকটি ক্ষেত্রে হবে যখন n 100. এই ক্ষেত্রে, পদ্ধতিটি কখনই বেস কন্ডিশন কার্যকর করবে না এবং এর ফলে স্ট্যাক ওভারফ্লো হবে।
জাভাতে রিকারশন উদাহরণ
এই বিভাগে, আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি ব্যবহার করে প্রয়োগ করব রিকার্সন।
#1) ফিবোনাচ্চি সিরিজ রিকারশন ব্যবহার করে
ফিবোনাচি সিরিজ দেওয়া হয়েছে,
1,1,2,3,5,8,13,21, 34,55,…
উপরের ক্রমটি দেখায় যে বর্তমান উপাদানটি পূর্ববর্তী দুটি উপাদানের সমষ্টি। এছাড়াও, ফিবোনাচি সিরিজের প্রথম উপাদান হল 1.
সুতরাং সাধারণভাবে n যদি বর্তমান সংখ্যা হয়, তাহলে এটি (n-1) এবং (n-2) এর যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়। যেহেতু বর্তমান উপাদানটি পূর্ববর্তী উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়, তাই আমরা এই সমস্যাটিকে পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে প্রকাশ করতে পারি।
ফিবোনাচি সিরিজ বাস্তবায়নের প্রোগ্রামটি নীচে দেওয়া হল:
public class Main { //method to calculate fibonacci series static int fibonacci(int n) { if (n = 1) { return n; } return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); } public static void main(String[] args) { int number = 10; //print first 10 numbers of fibonacci series System.out.println ("Fibonacci Series: First 10 numbers:"); for (int i = 1; i = number; i++) { System.out.print(fibonacci(i) + " "); } } } আউটপুট
#2) পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে একটি সংখ্যা একটি প্যালিনড্রোম কিনা তা পরীক্ষা করুন
একটি প্যালিনড্রোম একটি ক্রম যা সমান হয় যখন আমরা এটিকে বাম থেকে ডানে বা ডান থেকে বামে পড়ুন৷
121 নম্বর দেওয়া হলে, আমরা যখন এটিকে বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে পড়ি তখন এটি সমান হয়৷ সুতরাং 121 নম্বরটি একটি প্যালিনড্রোম৷
আসুন আরেকটি সংখ্যা নেওয়া যাক, 1242৷ আমরা যখন এটিকে বাম থেকে ডানে পড়ি তখন এটি 1242 হয় এবং ডান থেকে বামে পড়লে এটি 2421 হিসাবে পড়ে৷ সুতরাং এটি একটি প্যালিনড্রোম নয়৷
আমরাসংখ্যার অঙ্কগুলিকে বিপরীত করে প্যালিনড্রোম প্রোগ্রামটি বাস্তবায়ন করুন এবং প্রদত্ত সংখ্যাটিকে তার বিপরীত উপস্থাপনের সাথে পুনরাবৃত্তি করুন৷
নীচের প্রোগ্রামটি প্যালিনড্রোম পরীক্ষা করার জন্য প্রোগ্রামটি প্রয়োগ করে৷
import java.io.*; import java.util.*; public class Main { // check if num contains only one digit public static int oneDigit(int num) { if ((num >= 0) && (num 10)) return 1; else return 0; } //palindrome utility function public static int isPalindrome_util (int num, int revNum) throws Exception { // base condition; return if num=0 if (num == 0) { return revNum; } else { //call utility function recursively revNum = isPalindrome_util(num / 10, revNum); } // Check if first digit of num and revNum are equal if (num % 10 == revNum % 10) { // if yes, revNum will move with num return revNum / 10; } else { // exit throw new Exception(); } } //method to check if a given number is palindrome using palindrome utility function public static int isPalindrome(int num) throws Exception { if (num 0) num = (-num); int revNum = (num); return isPalindrome_util(num, revNum); } public static void main(String args[]) { int n = 1242; try { isPalindrome(n); System.out.println("Yes, the given number " + n + " is a palindrome."); } catch (Exception e) { System.out.println("No, the given number " + n + " is not a palindrome."); } n = 1221; try { isPalindrome(n); System.out.println("Yes, the given number " + n + " is a palindrome."); } catch (Exception e) { System.out.println("No, the given number " + n + " is not a palindrome."); } } }0 আউটপুট 
#3) রিভার্স স্ট্রিং রিকারশন জাভা
একটি স্ট্রিং "হ্যালো" দেওয়া হলে আমাদের এটিকে বিপরীত করতে হবে যাতে ফলস্বরূপ স্ট্রিং হল "olleH"৷
এটি পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে করা হয়৷ স্ট্রিংয়ের শেষ অক্ষর থেকে শুরু করে স্ট্রিংয়ের সমস্ত অক্ষর শেষ না হওয়া পর্যন্ত আমরা প্রতিটি অক্ষর পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে মুদ্রণ করি।
নিচের প্রোগ্রামটি একটি প্রদত্ত স্ট্রিংকে বিপরীত করতে পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে।
class String_Reverse { //recursive method to reverse a given string void reverseString(String str) { //base condition; return if string is null or with 1 or less character if ((str==null)||(str.length() = 1)) System.out.println(str); else { //recursively print each character in the string from the end System.out.print(str.charAt(str.length()-1)); reverseString(str.substring(0,str.length()-1)); } } } class Main{ public static void main(String[] args) { String inputstr = "SoftwareTestingHelp"; System.out.println("The given string: " + inputstr); String_Reverse obj = new String_Reverse(); System.out.print("The reversed string: "); obj.reverseString(inputstr); } } আউটপুট
#4) বাইনারি অনুসন্ধান জাভা রিকারশন
একটি বাইনারি অনুসন্ধান অ্যালগরিদম অনুসন্ধানের জন্য একটি বিখ্যাত অ্যালগরিদম। এই অ্যালগরিদমে, n উপাদানগুলির একটি সাজানো অ্যারে দেওয়া হয়েছে, আমরা প্রদত্ত কী উপাদানটির জন্য এই অ্যারেটি অনুসন্ধান করি। শুরুতে, আমরা অ্যারের মাঝামাঝি উপাদানটি খুঁজে বের করে অ্যারেটিকে দুটি অর্ধে ভাগ করি৷
তারপর কী মিডের উপর নির্ভর করে আমরা অ্যারের প্রথম বা দ্বিতীয়ার্ধে আমাদের অনুসন্ধান সীমাবদ্ধ করি। এইভাবে মূল উপাদানগুলির অবস্থান না পাওয়া পর্যন্ত একই প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করা হয়৷
আমরা এখানে পুনরাবৃত্ত ব্যবহার করে এই অ্যালগরিদমটি প্রয়োগ করব৷
import java.util.*; class Binary_Search { // recursive binary search int binarySearch(int numArray[], int left, int right, int key) { if (right >= left) { //calculate mid of the array int mid = left + (right - left) / 2; // if the key is at mid, return mid if (numArray[mid] == key) return mid; // if key key) return binarySearch(numArray, left, mid - 1, key); // Else recursively search in the right subarray return binarySearch(numArray, mid + 1, right, key); } // no elements in the array, return -1 return -1; } } class Main{ public static void main(String args[]) { Binary_Search ob = new Binary_Search(); //declare and print the array int numArray[] = { 4,6,12,16,22}; System.out.println("The given array : " + Arrays.toString(numArray)); int len = numArray.length; //length of the array int key = 16; //key to be searched int result = ob.binarySearch(numArray, 0, len - 1, key); if (result == -1) System.out.println("Element " + key + " not present"); else System.out.println("Element " + key + " found at index " + result); } } আউটপুট
#5) রিকারশন ব্যবহার করে অ্যারেতে ন্যূনতম মান খুঁজুন
পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে আমরা অ্যারেতে সর্বনিম্ন মানও খুঁজে পেতে পারি।
দিঅ্যারেতে ন্যূনতম মান খুঁজে বের করার জন্য জাভা প্রোগ্রাম নিচে দেওয়া হল।
import java.util.*; class Main { static int getMin(int numArray[], int i, int n) { //return first element if only one element or minimum of the array elements return (n == 1) ? numArray[i] : Math.min(numArray[i], getMin(numArray,i + 1 , n - 1)); } public static void main(String[] args) { int numArray[] = { 7,32,64,2,10,23 }; System.out.println("Given Array : " + Arrays.toString(numArray)); int n = numArray.length; System.out.print("Minimum element of array: " + getMin(numArray, 0, n) + "\n"); } }আউটপুট
22>
এগুলি হল কিছু পুনরাবৃত্তির উদাহরণ। এই উদাহরণগুলি ছাড়াও, সফ্টওয়্যারের অন্যান্য অনেক সমস্যা পুনরাবৃত্ত কৌশলগুলি ব্যবহার করে প্রয়োগ করা যেতে পারে৷
পুনরাবৃত্তির প্রকারগুলি
কখন কল করা হয় তার উপর ভিত্তি করে পুনরাবৃত্তি দুই ধরনের হয় রিকার্সিভ মেথড।
সেগুলো হল:
#1) টেইল রিকারশন
যখন রিকারসিভ মেথডে কল শেষ স্টেটমেন্ট হয় রিকার্সিভ মেথডের ভিতরে এক্সিকিউট করা হলে একে "টেইল রিকারসন" বলা হয়।
টেইল রিকারসনে, রিকারসিভ কল স্টেটমেন্ট সাধারণত মেথডের রিটার্ন স্টেটমেন্টের সাথে এক্সিকিউট করা হয়।
The টেইল রিকারশনের জন্য সাধারণ সিনট্যাক্স নিচে দেওয়া হল:
methodName ( T parameters…){ { if (base_condition == true) { return result; } return methodName (T parameters …) //tail recursion } #2) হেড রিকারশন
হেড রিকারশন হল যেকোন রিকারসিভ পদ্ধতি যা টেল রিকারশন নয়। সুতরাং এমনকি সাধারণ পুনরাবৃত্তিও এগিয়ে পুনরাবৃত্তি।
হেড রিকারশনের সিনট্যাক্স নিম্নরূপ:
methodName (T parameters…){ if (some_condition == true) { return methodName (T parameters…); } return result; } জাভাতে পুনরাবৃত্তি বনাম পুনরাবৃত্তি
| পুনরাবৃত্তি | পুনরাবৃত্তি |
|---|---|
| পুনরাবৃত্তি হল এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে একটি বেস শর্ত পূরণ না হওয়া পর্যন্ত একটি পদ্ধতি বারবার কল করে৷ | পুনরাবৃত্তি হল একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার বা একটি শর্ত পূরণ না হওয়া পর্যন্ত কোডের একটি অংশ বারবার কার্যকর করা হয়৷ |
| ফাংশনের জন্য অ্যাপ্লিকেশন৷ | প্রযোজ্য লুপগুলির জন্য৷ |
| এর জন্য ভাল কাজ করে৷ছোট কোড সাইজ। | বড় কোড সাইজের জন্য ভাল কাজ করে। |
| প্রতিটি রিকারসিভ কল স্ট্যাকে পুশ করায় আরও মেমরি ব্যবহার করে | তুলনামূলকভাবে কম মেমরি ব্যবহার করা হয়। |
| ডিবাগ করা এবং রক্ষণাবেক্ষণ করা কঠিন | ডিবাগ করা এবং বজায় রাখা সহজ |
| বেস হলে স্ট্যাক ওভারফ্লো হয় শর্ত নির্দিষ্ট করা হয়নি বা পৌঁছানো হয়নি৷ | অসীমভাবে কার্যকর হতে পারে কিন্তু শেষ পর্যন্ত কোনো মেমরি ত্রুটির সাথে সম্পাদন করা বন্ধ করে দেবে |
| সময়ের জটিলতা খুব বেশি৷ | সময়ের জটিলতা তুলনামূলকভাবে নিচের দিকে। |
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
প্রশ্ন # 1) জাভাতে রিকারসন কীভাবে কাজ করে?
উত্তর: রিকার্সনে, একটি বেস কন্ডিশন সন্তুষ্ট না হওয়া পর্যন্ত রিকারসিভ ফাংশন বারবার কল করে। কলিং ফাংশনের জন্য মেমরিটি কলিং ফাংশনের জন্য মেমরির শীর্ষে স্ট্যাকের দিকে ঠেলে দেওয়া হয়। প্রতিটি ফাংশন কলের জন্য, স্থানীয় ভেরিয়েবলের একটি পৃথক অনুলিপি তৈরি করা হয়৷
প্রশ্ন #2) পুনরাবৃত্তি কেন ব্যবহার করা হয়?
উত্তর: Recursion ব্যবহার করা হয় সেইসব সমস্যার সমাধান করার জন্য যেগুলিকে ছোট করে ভাগ করা যায় এবং সম্পূর্ণ সমস্যাটিকে একটি ছোট সমস্যার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে৷
যেগুলি খুব বেশি সেই সমস্যাগুলির জন্যও Recursion ব্যবহার করা হয়৷ একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা জটিল। সমস্যাগুলি ছাড়াও যেগুলির জন্য সময় জটিলতা একটি সমস্যা নয়, পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করুন৷
প্রশ্ন #3) এর সুবিধাগুলি কী কীRecursion?
উত্তর:
রিকারশনের সুবিধার মধ্যে রয়েছে:
- রিকারশন অপ্রয়োজনীয় কলিং হ্রাস করে ফাংশনের।
- পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির সাথে তুলনা করলে পুনরাবৃত্তি আমাদেরকে সহজেই সমস্যার সমাধান করতে দেয়।
প্রশ্ন #4) কোনটি ভাল - পুনরাবৃত্তি বা পুনরাবৃত্তি?
উত্তর: বেস ফাংশন না পৌঁছানো পর্যন্ত রিকারসন বারবার কল করে। এইভাবে একটি মেমরি ওভারহেড থাকে কারণ প্রতিটি ফাংশন কলের জন্য একটি মেমরি স্ট্যাকে পুশ করা হয়।
অন্যদিকে পুনরাবৃত্তিতে বেশি মেমরি ওভারহেড থাকে না। পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির চেয়ে পুনরাবৃত্তি সম্পাদন ধীর। পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি কোডের আকারকে কমিয়ে দেয় যখন পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি কোডটিকে বড় করে তোলে।
প্রশ্ন #5) পুনরাবৃত্তির উপর পুনরাবৃত্তির সুবিধাগুলি কী কী?
উত্তর:
- পুনরাবৃত্তি কোডটিকে আরও পরিষ্কার এবং ছোট করে।
- হ্যানয়ের টাওয়ার, গাছের মতো সমস্যার জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির চেয়ে পুনরাবৃত্তি ভাল। ট্রাভার্সাল, ইত্যাদি।
- যেহেতু প্রতিটি ফাংশন কলের মেমরি স্ট্যাকে পুশ করা থাকে, তাই রিকারশন আরও মেমরি ব্যবহার করে।
- পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির চেয়ে রিকারশন কর্মক্ষমতা ধীর।
উপসংহার
প্রোগ্রামিং ভাষা নির্বিশেষে সফ্টওয়্যারের ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্তি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। হ্যানয় এর টাওয়ার, ট্রি ট্রাভার্সাল, লিংকড লিস্ট ইত্যাদির মতো ডেটা স্ট্রাকচার সমস্যা সমাধানে রিকারশন বেশির ভাগই ব্যবহৃত হয়। যদিও এতে বেশি মেমরি লাগে,recursion কোডকে সহজ এবং পরিষ্কার করে।
আমরা এই টিউটোরিয়ালে Recursion সম্পর্কে সমস্ত কিছু এক্সপ্লোর করেছি। ধারণাটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য আমরা অনেকগুলি প্রোগ্রামিং উদাহরণও প্রয়োগ করেছি৷
৷